Volver a Guía
Ir al curso
CURSO RELACIONADO
Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰
Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
7.
Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
q) $f(x)=\frac{x^{3}}{(x-1)^{2}}$
q) $f(x)=\frac{x^{3}}{(x-1)^{2}}$
Respuesta
Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones.
1) Identificamos el dominio de $f(x)$
El dominio de $f$ es $\mathbb{R} - \{1\}$
2) Asíntotas
- Asíntotas verticales: Estudiamos el comportamiento de $f$ cuando $x$ tiende a $1$:
$ x^2(x - 3) = 0 $
Tenemos dos soluciones para esta ecuación: $x = 0$ y $x = 3$.
Reportar problema
$ \lim_{x \to 1^-} \frac{x^3}{(x-1)^2} = +\infty $
$ \lim_{x \to 1^+} \frac{x^3}{(x-1)^2} = +\infty $
Por lo tanto, $x = 1$ es asíntota vertical de $f$
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{(x-1)^2} = +\infty $
$ \lim_{x \to -\infty} \frac{x^3}{(x-1)^2} = -\infty $
Aclaración: Yo acá no escribí unos pasos intermedios, te das cuenta cómo justificar en el parcial esos límites? Pista, desarrollá ese cuadrado del denominador con la fórmula del cuadrado del binomio y tenés un cociente de polinomios, ¿qué podemos hacer ahí?
3) Calculamos $f'(x)$:
$ f'(x) = \frac{(3x^2)(x-1)^2 - x^3(2)(x-1)}{(x-1)^4} $
Reacomodamos un poco, fijate que podemos sacar factor común $x-1$ en el numerador y se nos simplifica con uno del denominador. Nos queda:
$ f'(x) = \frac{(3x^2)(x-1) - 2x^3}{(x-1)^3} $
$ f'(x) = \frac{3x^3 - 3x^2 - 2x^3}{(x-1)^3} $
$ f'(x) = \frac{x^3 - 3x^2}{(x-1)^3} $
$ f'(x) = \frac{x^2(x - 3)}{(x-1)^3} $
4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:
$\frac{x^2(x - 3)}{(x-1)^3} = 0$
Por lo tanto, los puntos críticos son $x = 0$ y $x = 3$.
5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) $x < 0$
b) $0 < x < 1$
c) $1 < x < 3$
d) $x > 3$
6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos:
a) Para $x < 0$
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente.
b) Para $0 < x < 1$
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente.
c) Para $1 < x < 3$
$f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente.
d) Para $x > 3$
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente.
Aclaración: $x=0$ era un punto crítico, un "candidato" a máximo o mínimo. Pero fijate que en este caso como la función crece hasta el cero y después sigue creciendo, al final no resultó ser nada, no es máximo ni mínimo.
Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra: